Obsah

• Předběžný
• Kroky

Laplaceova transformace je integrální transformace používaná při výpočtu diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Je také velmi užitečný ve fyzice a strojírenství.

Přestože je dostupnost tabulek široká, je důležité porozumět vlastnostem této transformace, abyste si mohli sami vytvořit.

Předběžný

• Předpokládejme, že se jedná o funkci definovanou. Následující text definuje Laplaceova transformace jako následující funkce pro každou hodnotu, ve které integrál konverguje:
• Při použití Laplaceovy transformace na funkci se její transformace provádí z domény - (nebo časové) na doménu - (nebo Laplacian), kde představuje komplexní funkci komplexní proměnné. Tímto způsobem je problém položen v doméně, která (doufejme) bude jednodušší vyřešit.
• Laplaceova transformace je samozřejmě lineární operátor, takže součet termínů může být proveden vytvořením každého integrálu samostatně.
• Nezapomeňte, že Laplaceova transformace funguje, pouze pokud integrál konverguje. V případě, že funkce má nějakou nespojitost, je důležité dbát na to, aby byly hranice integrálu rozděleny, aby se zabránilo chybám.

Kroky

Metoda 1 ze 3: Začínáme

1. Vyměňte funkci na základě Laplaceovy transformace. Teoreticky je tento výpočet provedený ve funkci velmi snadný. Zde bude použit příklad, protože představuje (komplexní) konstantu takovou.
2. Vyhodnoťte integrál všemi možnými prostředky. V tomto příkladu je analýza extrémně jednoduchá, pouze za použití základní věty o počtu. Ve složitějších případech lze také použít techniky, jako je integrace částí nebo diferenciace pod integrálem. Omezení naznačuje, že člen konverguje, to znamená, že dorazí za chvíli.
   • Všimněte si, že to má za následek dvě Laplaceovy transformace „zdarma“: sinusová a kosinová funkce, pokud je Eulerova formule považována za korelovanou funkci. Pak je zde jmenovatel a zbývá jen vzít skutečné a imaginární části výsledku. Bylo by možné provést přímé posouzení, ale bylo by to větší pracovní zatížení.
3. Vyhodnoťte Laplaceovu transformaci výkonové funkce. Před pokračováním je nutné tuto transformaci analyzovat, protože vlastnost linearity umožňuje transformaci Všechno polynomy. Funkci napájení představuje, kde představuje jakékoli kladné celé číslo. Při určování rekurzivního pravidla je možné použít integraci částmi.
   • Ačkoli výsledek není psán explicitně, se substitucí některých hodnot se objeví velmi jasný vzorec (proveďte test!), Ze kterého lze definovat následující:
   • Je také možné určit Laplaceovy transformace zlomkových sil pomocí funkce gama. Tímto způsobem je možné vypočítat funkční transformace jako.
   • I když funkce s dílčími schopnostmi musí obsahovat větvené body (pamatujte na to, že pro každé komplexní číslo a je nutné přepsat jak), bude vždy možné je definovat tak, aby zůstaly v levé střední rovině, aby se zabránilo problémům s analýzou .

Metoda 2 ze 3: Laplaceovy transformační vlastnosti

1. Určete Laplaceovu transformaci funkce vynásobené. Výsledky předchozí části umožňují vizualizovat zajímavé vlastnosti této transformace. Laplaceova transformace funkcí, jako je kosinus, sinus a exponenciální, se zdají jednodušší než mocenská transformace. Všimnete si, že násobení v doméně odpovídá a variace v doméně-.
   • Tato vlastnost okamžitě umožňuje odhalit funkční transformace jako bez nutnosti přímé analýzy integrálu.
2. Určete Laplaceovu transformaci funkce vynásobené. Předpokládejme, že začnete vynásobením. Poté můžete podle definice rozlišit podle integrálu, abyste získali překvapivě jasný výsledek.
   • Opakováním tohoto procesu se dosáhne celkového výsledku.
   • Výměna mezi integrálními a diferenciačními operátory vyžaduje určité odůvodnění pro větší přísnost, ale zde je třeba poznamenat, že operace je povolena, pokud je konečná odpověď v souladu s realitou. Je možné najít útěchu ve skutečnosti, že jde o nezávislé proměnné.
   • Laplace přirozeně s touto vlastností transformuje funkce, které jsou snadno určitelné, aniž by bylo nutné opakovaně používat integraci částmi.
3. Určete Laplaceovu transformaci rozšířené funkce. Podle definice je snadné určit tuto hodnotu substitucí.
   • Laplaceovy transformace a přímo z exponenciální funkce byly předem určeny. Tuto vlastnost lze použít k dosažení stejného výsledku, počínaje výpočtem skutečné a imaginární části.
4. Určete Laplaceovu transformaci derivátu. Na rozdíl od předchozích výsledků, které šetřily čas integrací částmi, zde je to nutné využít tuto metodu.
   • Protože se druhý derivát objevuje při několika fyzických použitích, je zde uvedena i Laplaceova transformace druhého derivátu.
   • Laplaceova transformace n-tého derivátu je obecně dána následujícím výsledkem (což je důležité při řešení diferenciálních rovnic prostřednictvím tohoto typu transformace):

Metoda 3 ze 3: O metodách řady

1. Určete Laplaceovu transformaci periodické funkce. Toto je funkce schopná uspokojit vlastnost, kde představuje periodu funkce a je kladným celkovým číslem. Periodické funkce se objevují v několika použitích ve zpracování signálu a elektrotechnice. S trochou manipulace přijdete s následující odpovědí:
   • To je si všiml toho Laplaceova transformace periodické funkce je příbuzná Laplaceově transformaci jednoho z jeho cyklů.
2. Další informace o výpočtu Laplaceovy transformace přirozeného logaritmu. Tento integrál nelze analyzovat pomocí fundamentální věty o počtu, protože antiderivativní výraz není vyjádřen pomocí elementárních funkcí. Všimněte si, že existuje technika, která používá funkci gama a její různé série rozšíření, aby vyhodnotila přirozený logaritmus a jeho vyšší síly. Naléhavost Euler-Mascheronovy konstanty je dostatečná k prokázání, že integrál potřebuje analýzu pomocí sériových metod.
3. Vyhodnoťte Laplaceovu transformaci funkce (nenormalizované). Tato funkce je široce nalezena ve zpracování signálu, protože je snadno rozpoznatelná v diferenciálních rovnicích jako ekvivalent kulovité Besselovy funkce prvního typu a řádu. Vaše Laplaceova transformace nemůže být vypočtena ani pomocí standardní metody. Proto je nutné posunout se směrem k transformaci jednoho členu najednou, je to možné, protože jednotlivé termíny jsou funkcemi moci, takže jejich transformace se určitě sblíží ve stanoveném intervalu.
   • V zásadě začněte psát Taylorovu řadu funkcí.
   • Nyní jen pokračujte přes Laplaceovu transformaci známé mocenské funkce. Faktoriály se zruší a s určitým pozorováním rozeznáte Taylorovu řadu inverzního tangenta - alternativní řadu, která vypadá jako Taylorova řada pro funkci, ale bez faktoriálů.