Obsah

• Kroky
• Tipy

Pro ty, kteří mají problémy s matematikou, může vidět symbol druhé odmocniny způsobit zimnici. Problémy týkající se tohoto operátora však nejsou tak obtížné, jak se jeví. Někdy mohou být jednoduché problémy s druhou odmocninou stejně snadné jako jednoduché násobení nebo dělení. Na druhé straně složitější problémy mohou být více práce. Přesto se správným přístupem budou všichni vypadat snadno. Začněte praktikovat druhou odmocninu a naučte se tuto novou matematickou dovednost radikální!

Kroky

Část 1 ze 3: Porozumět pojmu čtvercové a čtvercové kořeny

1. 

   Než pochopíte druhé odmocniny, nejprve pochopte, jaký je čtverec čísla. Je to snadno pochopitelné. Chcete-li číslo umocnit, jednoduše jej vynásobte. Například 3 čtverečky jsou stejné jako 3 × 3 = 9 a 9 čtverečky jsou stejné jako 9 × 9 = 81. Čtverce jsou označeny malým "2" v pravé horní části čísla, které má být zvýšeno, takto: 3, 9, 100 atd.
   • Chcete-li tento koncept procvičit, zkuste zaokrouhlit několik dalších čísel. Pamatujte, že umocnění čísla ho jednoduše vynásobí. Můžete to udělat i se zápornými čísly, ale pamatujte, že v tomto případě bude odpověď vždy kladná. Například -8 = -8 × -8 = 64.

2. 

   
   
   Chcete-li najít druhou odmocninu, najděte „inverzní“ potenciaci. Kořenový symbol (√, také nazývaný „radikál“) v podstatě znamená „opak“ symbolu. Když uvidíte radikála, zeptejte se sami sebe: „Jaké číslo mohu vynásobit samo o sobě, takže výsledkem je číslo uvnitř radikálu?“ Například, když uvidíte √ (9), zkuste najít číslo, které na druhou, rovná se devíti. V tomto případě bude odpověď třiprotože 3 = 9.
   • Další příklad: Najdeme druhou odmocninu 25 (√ (25)). To znamená, že musíme najít číslo, které je na druhou rovné 25. Protože 5 = 5 × 5 = 25, můžeme říci, že √ (25) = 5.
   • Tuto operaci můžete také považovat za způsob, jak „vrátit zpět“ čtvercovou výšku. Například, pokud potřebujeme najít √ (64), druhou odmocninu 64, měli bychom uvažovat o 64 jako 8. Protože druhá odmocnina v podstatě „ruší“ druhou mocninu výšky, můžeme říci, že √ (64) = √ (8) = 8.

3. 

   
   
   Pochopte rozdíl mezi dokonalými čtvercovými čísly a nedokonalými čtvercovými čísly. Odpovědi na naše problémy s druhou odmocninou byly dosud celá čísla. Ne vždy se to stane. Ve skutečnosti může výsledek radiační operace někdy vyústit v dlouhá, komplikovaná desetinná místa. Pokud je kořen čísla celé číslo, to znamená, že pokud není zlomkem nebo desetinným číslem, bude voláno perfektní náměstí. Všechny výše uvedené příklady (9, 25 a 64) jsou dokonalými čtverci, protože jejich kořeny jsou celá čísla (3, 5 a 8).
   • Na druhé straně se volají čísla, jejichž kořeny nejsou celé nedokonalé čtverce. Při výpočtu kořene jednoho z těchto čísel získáme výsledek, který bude obvykle zlomek nebo desetina. Někdy mohou být příslušná desetinná místa poměrně složitá, jako v příkladu: √ (13) = 3,605551275464...

4. 

   
   
   Zapamatujte si alespoň prvních 12 dokonalých čtverců. Jak jsme ukázali, výpočet druhé odmocniny čísla může být velmi snadné! Je proto důležité si udělat čas na zapamatování si kořenů prvních desítek dokonalých čtverců. Mají tendenci vypadat hodně na testech, takže jejich zapamatování vám může ušetřit spoustu času. Prvních 12 dokonalých čtverců je:
   • 1 = 1 × 1 = 1
   • 2 = 2 × 2 = 4
   • 3 = 3 × 3 = 9
   • 4 = 4 × 4 = 16
   • 5 = 5 × 5 = 25
   • 6 = 6 × 6 = 36
   • 7 = 7 × 7 = 49
   • 8 = 8 × 8 = 64
   • 9 = 9 × 9 = 81
   • 10 = 10 × 10 = 100
   • 11 = 11 × 11 = 121
   • 12 = 12 × 12 = 144

5. 

   Pokud je to možné, zjednodušte kořeny odstraněním dokonalých čtverců. Nalezení druhé odmocniny nedokonalých čtverců může být docela složité, zejména pokud není k dispozici žádná kalkulačka (v níže uvedených částech se naučíte triky pro zjednodušení procesu). Někdy je však možné zjednodušit čísla uvnitř kořenového adresáře, aby se výpočty zjednodušily. Stačí rozdělit číslo uvnitř kořene na faktory, pak spočítat kořen faktorů, které jsou dokonalými čtverci, a napsat odpověď mimo radikál. To je jednodušší, než to vypadá. Viz níže, abyste lépe porozuměli!
   • Řekněme, že musíte najít kořen 900. Zpočátku se zdá, že je to docela obtížný úkol! Všechno je mnohem snazší, pokud 900 rozdělíme na faktory. Faktory čísla „x“ jsou množina čísel, která, pokud se vynásobí, povedou k „x“. Například můžeme získat 6 vynásobením 1 × 6 a 2 × 3, takže faktory 6 jsou 1, 2, 3 a 6.
   • Namísto práce s 900, což může být trochu divné, pojďme to místo toho napsat jako 9 × 100. Nyní, když je 9, což je perfektní čtverec, odděleno od 100, můžeme vypočítat jeho druhou odmocninu. √ (9 × 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). To znamená, √ (900) = 3√(100).
   • Stále ještě můžeme zjednodušit ještě dvakrát a rozdělit 100 na faktory 25 a 4. √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 × 2 = 10. Můžeme tedy říci, že √ (900) = 3 (10) = 30.

6. 

   K výpočtu kořene záporných čísel použijte imaginární čísla. Zeptejte se sami sebe, které číslo vynásobené samotným vede k -16? Není to 4 nebo -4, protože druhá mocnina těchto dvou čísel je 16. Měli bychom se vzdát? Ve skutečnosti neexistuje způsob, jak napsat druhou odmocninu -16 nebo jakékoli jiné záporné číslo pomocí pouze reálných čísel. V takových případech musíme použít imaginární čísla (obvykle ve formě písmen nebo symbolů), abychom nahradili druhou odmocninu záporného čísla. Například proměnná „i“ označuje druhou odmocninu -1. Obecně platí, že kořen záporného čísla bude vždy (nebo alespoň zahrnovat) imaginární číslo.
   • Pamatujte, že i když imaginární čísla nelze reprezentovat skutečnými čísly, lze s nimi za určitých okolností zacházet. Například kořen záporného čísla „-x“, pokud je na druhou, má za následek „-x“, stejně jako jakýkoli jiný kořen. To znamená, že i = -1

Část 2 ze 3: Používání metod podobných dlouhému dělení

1. 

   Zacházejte s problémem druhé odmocniny, jako by to bylo dlouhé rozdělení. Přesto, že je trochu pracné, můžete najít druhou odmocninu složitých nedokonalých čísel čtverců bez použití kalkulačky. Metoda (nebo algoritmus) je podobná (ale ne stejná) jako metoda dlouhého dělení. Dlouhé dělení je tradiční metoda používaná pro výpočet dělení ručně.
   • Začněte počátečním umístěním problému, který bude podobný jako u dlouhého dělení. Řekněme například, že musíte najít kořen 6.45, což rozhodně není dokonalý čtverec. Nejprve napíšeme symbol druhé odmocniny (√) a potom do něj vložíme číslo. Pak musíme udělat čáru od symbolu √, dokud nepokryje celé číslo, a ponechat ji v krabici podobné té, kde je dlouhý dělicí člen. Rozdíl je v tom, že zde bude odpověď nad tímto rámečkem, nikoli níže, jako v tradičním dělení. Až skončíme, budeme mít podlouhlý znak „√“ pokrývající celé číslo 6,45.
   • Do tohoto pole zapíšeme čísla, takže ponechte mezeru.

2. 

   Seskupte číslice do dvojic. Chcete-li začít řešit problém, seskupte číslice čísla uvnitř stonku v párech, počínaje desetinnou čárkou. Mezi páry můžete vytvořit malá označení (například tečky, pruhy, čárky atd.), Abyste je oddělili.
   • V našem příkladu bychom měli rozdělit 6,45 na tři páry, jako je tento: 6-,45-00. Podívejte se, že na levé straně je ještě jedna číslice, s tím není žádný problém.

3. 

   Najděte největší číslo, jehož čtverec je menší nebo roven hodnotě první „skupiny“. Začněte první dvojicí čísel na levé straně. Vyberte největší číslo, jehož čtverec je menší nebo roven „skupině“. Například pokud byla skupina 37, vyberte 6, protože 6 = 36 <37, ale 7 = 49> 37. Toto číslo napište nad první skupinu. Toto je první číslice odpovědi.
   • V našem příkladu je první skupina v 6-, 45-00 6. První největší číslo, jehož čtverec je menší nebo roven 6, je 2, protože 2 = 4. Napište "2" přes 6, který je uvnitř radikálu.

4. 

   Podívejte se na první číslici odpovědi (číslo, které jsme právě našli) a vynásobte ji dvěma. Nyní napište výsledek pod první skupinu a odečtěte, abyste našli rozdíl. Poté posuňte další pár čísel dolů a přidejte je do rozdílu, který jsme právě našli. Nakonec napište poslední číslici dvojnásobek první číslice odpovědi na levou stranu a nechte vedle ní mezeru.
   • V našem příkladu by prvním krokem bylo nalezení dvojnásobku 2, což je první číslice odpovědi. 2 × 2 = 4. Potom musíme odečíst 4 od 6 (naše první „skupina“) a získat 2 jako odpověď. Nyní musíme jít dolů do další skupiny (45), abychom dostali 245. Nakonec znovu napíšeme 4 vlevo a na pravé straně ponecháme malé prázdné místo, jako je toto: 4_.

5. 

   Vyplň prázdná místa. Nyní musíme vložit číslici na místo mezery vedle čísla, které píšeme vlevo. Vyberte číslici, která, pokud je vynásobena číslem vlevo a mezerou nahrazenou samotnou, má maximální hodnotu, ale menší než číslo na pravé straně. Může to vypadat trochu komplikovaně, takže se podívejme na několik příkladů, kterým rozumíme. Pokud je číslo, které sestoupilo, tj. Číslo na pravé straně, 1700 a číslo napravo 40_, vyplnili by jsme prázdné místo číslem 4, protože 404 × 4 = 1616 <1700 a 405 × 5 = 2025 Číslo nalezené v tomto kroku bude druhá číslice odpovědi, takže ji můžete přidat nad symbol stonku.
   • V našem příkladu musíme najít číslo, které vyplní prázdné místo ve 4_ × _, takže odpověď bude co největší, ale menší nebo rovná 245. V našem případě je odpověď 5protože 45 × 5 = 225 a 46 × 6 = 276.

6. 

   Pro sestavení odpovědi nadále používejte čísla, která vyplňují mezery. Pokračujte v této modifikované metodě dlouhého dělení, dokud nezačnete získávat nuly odečtením čísla, které sestoupí od radikálu, nebo dokud nedosáhnete požadované úrovně přesnosti. Po dokončení budou čísla použitá k vyplnění mezer v každém kroku (a samozřejmě první číslo, které použijeme), tvoří číslice odpovědi.
   • V našem příkladu bychom odečítali 225 z 245 na 20. Potom bychom sešli dolů o dvojici číslic 00 a dostali 2000. Zdvojnásobením čísel nad radikálem máme 25 × 2 = 50. Nastavením prázdného čísla na 50_ × _ = / <2 000, dostaneme 3. V tomto bodě máme o radikálu „253“. Opakováním tohoto postupu získáme 9 jako další číslici.

7. 

   Umístěte čárku na správnou pozici v odpovědi. Abychom dokončili odpověď, musíme ještě umístit desetinnou tečku na správné místo. Tato část je snadná: vložte do odpovědi čárku ve stejné pozici jako čárka v čísle uvnitř radikálu. Pokud je například číslo uvnitř radikálu 49,8, vložte do odpovědi čárku na místo odpovídající níže uvedenému, tj. Mezi dvě čísla nad 9 a 8.
   • V našem příkladu je číslo v radikálu 6,45. Chcete-li získat odpověď, vložte čárku mezi čísla nad 6 a 4, v tomto případě 2 a 5, abyste dostali odpověď: 2,539.

Část 3 ze 3: Rychlý odhad nedokonalých čtverců

1. 

   Najděte odpověď prostřednictvím odhadu. Jakmile znáte kořen některých dokonalých čtverců, bude nalezení kořene nedokonalých čtverců mnohem snazší. V předchozím kroku doporučujeme zapamatovat si alespoň prvních dvanáct dokonalých čtverců a jejich kořeny. Dobrou zprávou je, že pomocí odhadu můžeme získat aproximaci kořene nedokonalého čtverce, který je mezi dvěma dokonalými čtverci, které známe. K tomu musíme najít první dokonalý čtverec větší, než je požadovaný počet, a poslední menší, aby se dané číslo pohybovalo mezi nimi. Pak se musíme pokusit zjistit, ke kterému z těchto dvou dokonalých čtverců se blíží kořen požadovaného čísla.
   • Předpokládejme například, že musíme najít druhou odmocninu 40. Protože si pamatujeme naše dokonalé čtverce, můžeme říci, že 40 je mezi 6 a 7, tj. Mezi 36 a 49. Protože 40 je větší než 6, bude jeho druhá odmocnina větší než 6. Podobně, protože je menší než 7, jeho kořen bude menší než 7. 40 je o něco blíže 36 než 49, takže naše odpověď bude pravděpodobně blíže k 6. V dalších krocích , zvýšíme přesnost našeho odhadu.

2. 

   Zvyšte přesnost na jedno desetinné místo. Jakmile najdete dva po sobě následující dokonalé čtverce, které tvoří rozsah, který obsahuje vaše číslo, zkuste zvýšit přesnost odhadu do bodu, který považujete za uspokojivý. Čím více pokusů o zlepšení odhadu, tím větší přesnost. Nejprve odhadněte hodnotu prvního desetinného místa. Tento odhad nemusí být správný, ale použití logiky k výběru hodnoty, která bude pravděpodobně nejblíže odpovědi, usnadní tento proces.
   • V našem příkladu by mohl být přijatelný odhad druhé odmocniny 40 6,4, protože již víme, že odpověď je pravděpodobně o něco blíže 6 než 7.

3. 

   Vynásobte odhad sám. Pokud nebudete mít velké štěstí, výsledkem nebude startovní číslo (v našem příkladu 40). Budete muset upravit odhad, abyste se dostali blíže ke správné odpovědi.Pokud je výsledek nad počátečním číslem (tj. Nad 40), zkuste nižší odhad. Podobně, pokud je výsledek pod požadovaným číslem, zvyšte odhad.
   • Vynásobte 6,4, abyste získali 6,4 × 6,4 = 40,96, což je o něco vyšší než naše původní číslo.
   • Nyní, když byl náš odhad těsně nad správnou hodnotou, snižme ho o jednu desetinu, abychom dostali 6,3 × 6,3 = 39,69. Výsledek byl nyní o něco menší než naše původní číslo. To znamená, že kořen 40 je nějaké číslo mezi 6,3 a 6,4. Navíc, protože 39,69 je blíže 40 než 40,96, víme, že kořen bude blíže 6,3, ne 6,4.

4. 

   V případě potřeby pokračujte ve zlepšování odhadu. Pokud jste s odpovědí spokojeni, použijte jako odhad jednu z prvních přibližných odhadů. Pokud však potřebujete přesnější odpověď, zkuste odhadnout druhé desetinné místo, výběr hodnoty mezi předchozími dvěma (tj. mezi 6,3 a 6,4). Pomocí této metody můžeme odhadnout tři desetinná místa, čtyři, pět atd., V závislosti pouze na přesnosti požadované pro odpověď.
   • V našem příkladu si můžeme zvolit 6,33, abychom provedli náš odhad na dvě desetinná místa. Násobením 6.33 se získá 6,33 × 6,33 = 40,0689. Protože tento výsledek byl mírně nad naším původním číslem, můžeme si vybrat mírně nižší hodnotu, například 6,32. V tomto případě 6,32 × 6,32 = 39,9424, výsledek mírně pod startovním číslem. Proto můžeme dojít k závěru, že přesný kořen 40 je mezi 6,32 a 6,33. V případě potřeby bychom mohli v této metodě pokračovat, abychom získali stále přesnější přiblížení ke kořeni požadovaného čísla.

Tipy

• Pokud potřebujete rychlou opravu, použijte kalkulačku. Většina moderních kalkulaček dokáže okamžitě vypočítat kořeny. Obecně stačí zadat libovolné číslo a stisknout tlačítko se symbolem druhé odmocniny. Chcete-li například najít kořen 841, stačí stisknout 8, 4, 1 a poté (√) a získat odpověď: 39.