3 způsoby, jak vypočítat kubický kořen ručně - Encyklopedie

Jak ručně vypočítat kubický kořen - Encyklopedie

Obsah

Kroky
Tipy
Varování
Potřebné materiály

S kalkulačkou je nalezení kořenové krychle čísla jen pár kliknutí. Možná však nemáte po ruce kalkulačku, nebo jen chcete zapůsobit na přátele schopností to zvládnout. Existuje proces, který se zpočátku zdá být pracný, ale který se v praxi stává snadným. Bude užitečné si zapamatovat některé základní matematické a algebraické pojmy o kubických číslech.

Kroky

Metoda 1 ze 3: Práce s konvenčním problémem s kořenem krychle

Zapište si problém. Výpočet kořenové krychle čísla bude prakticky jako řešení problému dlouhého dělení s některými zvláštními rozdíly. Prvním krokem je konfigurace problému ve správném formátu.
- Napište číslo, jehož kořen krychle bude vypočítán. Poznamenejte si číslice ve skupinách po třech a jako počáteční bod použijte desetinnou čárku. V tomto příkladu najdete kořen krychle 10. Napište jej jako 10 000 000. Dodatečné nuly slouží k přesnosti výpočtu.
- Vytvořte nad číslem kořenový znak kostky. Slouží ke stejnému účelu jako dělicí čára, přičemž jediným rozdílem je tvar symbolu.
- Umístěte desetinnou čárku na řádek přímo nad desetinnou čárku čísla.
Objevte jednociferné číselné kostky. Měli byste to použít ve svých výpočtech. Jsou to následující:
Najděte první číslici řešení. Vyberte číslo, které se po zvednutí na krychli nejvíce přiblíží původnímu číslu.
- V tomto příkladu je první ze tří čísel 10. Najděte největší dokonalou krychli, která se blíží 10. Tato hodnota je rovna 8 a kořen krychle bude roven 2.
- Napište číslo 2 na radikální čáru nad číslo 10. Napište hodnotu, což je 8, pod číslo 10, nakreslete čáru a odečtěte, stejně jako v dlouhém dělení. Výsledek bude 2.
- Po odečtení budete mít první číslici řešení. Je třeba se rozhodnout, zda představuje dostatečně přesný výsledek, což ve většině případů nebude. Odpověď můžete zkontrolovat pomocí krychle s touto číslicí a rozhodnout, zda je výsledek dostatečně blízko k požadované hodnotě. Tady, protože se rovná 8 a není příliš blízko 10, musíte pokračovat.
Připravte se na nalezení další číslice. Zkopírujte další skupinu tří čísel níže a nakreslete malou svislou čáru vlevo od výsledné hodnoty. Toto bude základní číslo pro nalezení další číslice v kořenovém řešení krychle. V tomto příkladu budete mít číslo 2000, tvořené 2 výsledkem předchozího odčítání spolu se skupinou tří nul, které šly dolů.
- Nalevo od svislé čáry vyřešíte dalšího dělitele jako součet tří samostatných čísel. Udělejte pro tato čísla mezery se třemi podtržítky a třemi znaménky plus mezi nimi.
Najděte začátek dalšího dělitele. Pro první část dělitele napište 300krát druhou mocninu čísla, které je nad radikálem. V tomto případě, protože je 2 a 2 se rovná 4, máme 4 * 300 = 1200. Na první místo zadejte 1200. Dělitelem pro tento krok řešení bude 1200 plus něco, co najdete níže.
Najděte další číslo v řešení kořenové krychle. Najděte další číslici řešení výběrem toho, co může být vynásobeno dělitelem, což je 1200 a několik, a odečteno od zbývajících 2000. Tato hodnota může být pouze 1, protože 2krát 1200 se rovná 2400, hodnota větší než 2000.Napište číslo 1 do dalšího prostoru nad stopkou.
Určete zbytek dělitele. Oddělovač pro tento krok řešení se skládá ze tří částí. První část představuje 1200, které již máte. K dokončení dělitele budete muset přidat dva pojmy.
- Nyní vypočítáme 3krát 10 pro každou ze dvou číslic v roztoku nad radikálem. V tomto příkladu to znamená 3 * 10 * 2 * 1, což je 60. Výsledek přidejte k 1200, které jsou již k dispozici, a výsledkem bude 1260.
- Nakonec přidejte čtverec poslední číslice. V tomto příkladu je toto číslo 1 a 1 se stále rovná 1. Proto se celkový dělitel rovná 1200 + 60 + 1 nebo 1261. Tuto hodnotu zapište nalevo od svislé čáry.
Vynásobte a odečtěte. Tuto část řešení doplňte vynásobením poslední číslice - v tomto případě 1 - nově vypočítaným dělitelem 1261. 1 * 1261 = 1261. Napište tuto odpověď pod 2000 a proveďte odčítání, které bude mít za následek 739.
Rozhodněte se, zda chcete pokračovat pro větší přesnost. Po dokončení odečtení každého kroku musíte zvážit, zda je odpověď dostatečně přesná. Pokud jde o kořen krychle 10, po prvním odečtení jsme našli pouze 2, což není příliš přesná hodnota. Nyní, po druhé části, máme řešení 2.1.
- Tuto přesnost můžete zkontrolovat vynásobením 2.1 * 2.1 * 2.1. Výsledek se bude rovnat 9 261.
- Pokud si myslíte, že je výsledek dostatečně přesný, můžete se zastavit zde. Pokud chcete něco přesnějšího, přečtěte si dopředu, abyste pochopili druhou část.
Najděte rozdělovač pro další část. V tomto případě pro praktičtější a přesnější odpověď opakujte kroky následovně:
- Přejděte dolů na další skupinu tří číslic. V tomto případě existují tři nuly, které budou doprovázet číslo 739 a výsledkem bude 739000.
- Vypočítejte dělitele vynásobením 300násobku druhé mocniny čísla, které je nad radikálem. To je ekvivalentní, rovný 132300.
- Vyberte další číslici řešení, abyste ji vynásobili číslem 132300 a stále měli něco menšího než 739000. Dobrou volbou by bylo číslo 5, protože 5 * 132300 = 661500. Zadejte číslici 5 na další místo výše radikál.
- Vypočítejte trojnásobek předchozího čísla na stopce, 21násobek poslední zapsané číslice, 5krát 10. Výsledkem bude.
- Nakonec zarovnejte poslední číslo na druhou. Výsledkem je.
- Sčítáním dělitele získáte 132300 + 3150 + 25 = 135475.
Vynásobte dělitele hodnotou řešení. Poté, co jste vypočítali dělitele další sekce a rozšířili řešení o jednu číslici, proveďte následující:
- Vynásobte dělitele poslední číslicí řešení. 135475 * 5 = 677375.
- Proveďte odčítání. 739000 - 677375 = 61625.
- Rozhodněte se, zda je řešení 2.15 dostatečně přesné. Zvedněte ji na kostku, abyste získali.
Napište závěrečnou odpověď. Výsledkem nad radikálem je kořen krychle, přesný v tomto bodě na tři desetinná místa. V tomto příkladu je kořen krychle 10 roven 2,15. Potvrďte, že při výpočtu 2,15 = 9,94 získáte něco blízko 10. Pokud potřebujete zjistit ještě větší přesnost, pokračujte v procesu v tolika krocích, kolik je třeba.

Metoda 2 ze 3: Hledání kořenů krychle opakovaným odhadem

Pomocí kubických čísel definujte horní a dolní mez. Pokud potřebujete znát kořen krychle téměř jakéhokoli čísla, začněte výběrem dokonalé krychle co nejblíže, aniž byste překročili cíl.
- Například pokud chcete najít kořen krychle 600, nezapomeňte (nebo použijte tabulku kubických čísel), že e. Řešení pro kořen krychle 600 bude tedy mezi 8 a 9. Jako horní a dolní hranici řešení budete používat čísla 512 a 729.
Odhadněte další číslici. První číslice pocházela z jeho vlastní znalosti kubických čísel. Chcete-li najít další, odhadněte některé hodnoty mezi 0 a 9 na základě polohy hodnoty mezi dvěma limity.
- Ve výše uvedeném příkladu je cíl 600 mezi limity 512 a 729. Proto zvolte 5 jako další číslici.
Otestujte odhad zvednutím na krychli. Zkuste znásobit aktuální odhad a uvidíte, jak blízko jste k cíli.
- V tomto příkladu znásobte.
Podle potřeby upravte odhad. Po krychli posledního odhadu si povšimněte, kde je výsledek ve srovnání s cílem. Pokud výsledek překročí cíl, budete muset odhad snížit o jeden nebo více. Pokud je pod cílem, může být nutné jej zvýšit, dokud nepřekročí cíl.
- Například v tomto problému překračuje cíl, který je 600. Proto musíte snížit odhad na 8,4. Zvyšte toto číslo a porovnejte ho s požadovanou hodnotou. To najdete. Tento výsledek je pod cílem. Proto budete vědět, že kořen krychle 600 musí být větší než 8,4 a menší než 8,5.
Odhadněte další číslici pro ještě větší přesnost. V tomto procesu odhadu číslic od 0 do 9 musíte pokračovat, dokud neodpovíte tak přesně, jak si přejete. U každého odhadu začněte pozorováním bodu, ve kterém dorazí poslední výpočty, mezi limity.
- V tomto příkladu poslední část výpočtů ukazuje, že zatímco. Cíl 600 je o něco blíže k 592 než k 614. Pro další odhad zvolte číslo mírně pod polovinou mezi 0 a 9. Dobrý odhad by byl 4 a dosáhl kořenové krychle 8,44.
Pokračujte v testování odhadů a provádění úprav. Pokud je to nutné, odhadněte krychli a sledujte, jak se srovnává s cílem. Měli byste najít hodnoty, které jsou těsně pod a těsně nad cílem.
- V tomto příkladu si to povšimněte. Tento výsledek je těsně nad cílem, takže budeme testovat s 8,43. Výsledkem bude. Brzy budete vědět, že kořen krychle 600 je nad 8,43 a pod 8,44.
Pokračujte tak dlouho, jak je to nutné, dokud nedosáhnete požadované přesnosti. Postupujte opakováním kroků odhadu, jejich porovnáním a opětovným odhadováním, dokud nebude řešení tak přesné, jak je požadováno. Všimněte si, že s každým desetinným místem se výsledek blíží cíli.
- V příkladu krychle kořene 600, používající dvě desetinná místa, 8,43, jste méně než 1. Pokud budete pokračovat s třetím desetinným místem, zjistíte, že je méně než 0,1 konečné odpovědi.

Metoda 3 ze 3: Pochopení fungování tohoto výpočtu

Zkontrolujte binomickou expanzi. Abyste pochopili, proč tento algoritmus funguje na objevování kubických kořenů, musíte si nejprve vzpomenout, jak vypadá binomická kubická expanze. Je pravděpodobné, že se to učilo v některé z vašich tříd algebry na střední škole (a pokud jste jako většina lidí, hned jste na to zapomněli). Vyberte dvě proměnné a reprezentujte jednociferná čísla. Dále vytvořte dvojčlen, který bude představovat dvouciferné číslo.
- Použití termínu je to, co vytváří dvouciferné číslo. Bez ohledu na zvolenou číslici ji umístí do sloupce desítek. Například pokud se rovná 2 a rovná se 6, stane se 26.
Rozbalte dvojčlen v krychli. Zde pracujeme obráceně, nejprve vytvoříme krychli a poté vidíme, proč řešení pro kořeny krychle funguje. Musíme zjistit hodnotu. Za to se znásobuje. Tento výraz je příliš dlouhý na to, aby se zde mohl rozvíjet, ale výsledek bude.
- Další tipy najdete v tomto článku.
Pochopte, co znamená algoritmus dlouhého dělení. Všimněte si, že metoda výpočtu kořene kostky funguje jako dlouhé dělení. V něm najdete dva faktory, které se společně násobí a výsledkem je součin startovního čísla. Ve výpočtu bude aktuální hodnota (číslo nad radikálem) kořen krychle. To znamená, že představuje termín (10A + B). Prozatím jsou hodnoty A a B irelevantní, pokud pochopíte vztah, který mají ke konečné odpovědi.
Zkontrolujte rozšířenou verzi. Při pohledu na rozvinutý polynom uvidíte, proč funguje algoritmus krychle a kořene. Pochopte, že dělitel každého kroku algoritmu představuje součet čtyř členů, které je třeba vypočítat a sečíst. Jsou to následující:
- První člen obsahuje násobek 1 000. Zvýšíte číslo na krychli a zjistíte, zda je v mezích dlouhého dělení s ohledem na první číslici. Výsledkem je termín 1000A v binomické expanzi.
- Druhý člen binomické expanze má koeficient 300 (který ve skutečnosti přichází ve formě). Nezapomeňte, že při výpočtu kořene krychle se první číslice v každém kroku vynásobí 300.
- Druhá číslice v každém kroku výpočtu pochází z třetího členu binomické expanze. Zde najdete výraz 30AB.
- Poslední číslice každého kroku bude výraz B.
Sledujte nárůst přesnosti. Při práci s algoritmem dlouhého dělení přináší každý dokončený krok větší přesnost odpovědi. Například problém článku se snaží najít kořen krychle 10. V prvním kroku je řešení 2, protože se jedná o hodnotu blízkou, ale menší než 10. Ve skutečnosti. Po druhém procesu získáte výsledek 2.1. Když děláte výpočet, něco mnohem blíže k cíli. Po třetím pokusu najdete hodnotu 2,15, která má za následek. Můžete pokračovat v práci ve skupinách se třemi číslicemi, abyste získali co nejpřesnější odpověď podle potřeby.