Obsah

• Kroky
• Tipy

Matematici a grafičtí programátoři často potřebují najít úhel mezi dvěma vektory. Naštěstí vzorec použitý k výpočtu tohoto úhlu nevyžaduje nic víc než jednoduchý skalární produkt. Ačkoli odůvodnění za tímto vzorcem je snáze pochopitelné při použití dvourozměrných vektorů, můžeme jej snadno přizpůsobit vektorům s libovolným počtem komponent.

Kroky

Část 1 ze 2: Vypočítejte úhel mezi dvěma vektory

1. 

   Identifikujte dva vektory. Zapište si všechny známé informace o těchto dvou vektorech. Pro účely tohoto tutoriálu budeme předpokládat, že znáte vektory pouze z hlediska jejich rozměrových souřadnic (nazývaných také komponenty). Pokud již znáte modul nebo Standard z těchto vektorů (tj. jejich délka), můžete přeskočit některé z níže uvedených kroků.
   • Příklad: vezmeme v úvahu dvourozměrné vektory = (2,2) a = (0,3). Tyto dva vektory lze přepsat jako = 2i + 2j e = 0i + 3j = 3j.
   • Ačkoli náš příklad používá dva dvourozměrné vektory, můžeme použít následující instrukce na vektory s libovolným počtem komponent.

2. 

   
   
   Napište kosinový vzorec. Abychom našli hodnotu úhlu 9 mezi jakýmikoli dvěma vektory, musíme nejprve vypočítat kosinus tohoto úhlu. Vzorec můžete vyhledat a zjistit podrobně nebo jednoduše napsat, jak je uvedeno níže:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| představuje modul (nebo délka) vektoru ".
   • • představuje skalární produkt (nebo interní produkt) těchto dvou vektorů.

3. 

   
   
   Vypočítejte modul každého vektoru. Představte si pravoúhlý trojúhelník tvořený komponentou X vektoru, jeho složky y a samotný vektor. V tomto trojúhelníku hraje vektor roli převisu; proto, abychom zjistili jeho délku, použijeme Pythagorovu větu. Výsledkem je, že tento vzorec je snadno použitelný pro vektory s libovolným počtem složek.
   • || u || = u₁ + u₂. Pokud má vektor více než dvě složky, pokračujte v přidávání + u₃ + u₄ +...
   • Proto pro dvourozměrný vektor budeme muset || u || = √ (u₁ + u₂).
   • V našem příkladu |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Vypočítejte skalární produkt mezi dvěma vektory. Měli byste již znát metodu násobení vektorů, nazývanou také skalární produkt. Pro výpočet skalárního součinu dvou vektorů z hlediska jejich složek, vynásobíme komponenty ve stejném směru navzájem a pak přidáme výsledky těchto produktů.
   • Pokud pracujete s programy počítačové grafiky, nejprve pokračujte v části „Tipy“, než budete pokračovat.
   • Z matematického hlediska • = u₁proti₁ + u₂proti₂, kde u = (u₁, u₂). Pokud má váš vektor více než dvě komponenty, pokračujte v přidávání + u₃proti₃ + u₄proti₄...
   • V našem příkladu • = u₁proti₁ + u₂proti₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Toto je hodnota skalárního produktu mezi vektory a.

5. 

   Tyto výsledky nahradte kosinovým vzorcem. Nezapomeňte, cosθ = (•) / (|||| || ||). Již jsme vypočítali skalární součin a modul obou vektorů. Nyní nahradme tyto hodnoty ve vzorci a vypočítáme kosinus úhlu.
   • V našem příkladu je cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Najděte úhel na základě kosinus.
   Pomocí funkce oblouku nebo cos vaší kalkulačky určete úhel θ od vaší hodnoty cosine. V některých případech je možné najít hodnotu úhlu na základě kruhové jednotky.
   • V našem příkladu cosθ = √2 / 2. Zadejte "arccos (√2 ​​/ 2)" v kalkulačce najít úhel. Další možností je hledat úhel θ kruhové jednotky, kde cosθ = √2 / 2: to bude platit pro θ = /₄ nebo 45 °.
   • Dáme-li všechny informace dohromady, budeme mít konečný vzorec θ = arkkosin ((•) / (|||| || ||))

Část 2 ze 2: Definování vzorce pro výpočet úhlu

1. 

   Pochopit účel vzorce. Vzorec, který jsme použili pro výpočet úhlu mezi dvěma vektory, nebyl odvozen z již existujících pravidel; místo toho byl vytvořen jako definice skalárního součinu mezi dvěma vektory a úhel mezi nimi. Toto rozhodnutí však není svévolné. Při bližším pohledu na základní geometrii můžeme vidět, proč tento vzorec vede k tak užitečným a intuitivním definicím.
   • Následující příklady využívají dvourozměrné vektory, protože jsou nejintuitivnějším typem, se kterým lze pracovat. Vektory tří nebo více dimenzí mají své vlastnosti definované z obecného vzorce (také velmi podobným způsobem).

2. 

   Přečtěte si kosinský zákon. V kterémkoli trojúhelníku zvažte úhel 9 vytvořený po stranách a B a na stranu C naproti tomuto úhlu. Podle kosinovského zákona c = a + b -2abopasek(9). Ukázku tohoto vzorce lze snadno získat na základě znalosti základní geometrie.

3. 

   Spojte dva vektory a vytvořte trojúhelník. Nakreslete pár vektorů a mezi nimi úhel 9. Poté mezi nimi nakreslete třetí vektor a vytvořte trojúhelník. Jinými slovy, nakreslete vektor tak, že + =, nebo jednoduše = -.

4. 

   Použijte kosinovský zákon na tento trojúhelník. Vyměňte délku našich stran vektor trojúhelník (tj. vektorový modul) ve vzorci kosinovského zákona:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||opasek(θ)

5. 

   Přepište vzorec pomocí skalárních produktů. Pamatujte, že bodový produkt je zvětšení jednoho vektoru promítaného na jiný. Skalární produkt samotného vektoru nevyžaduje projekci, protože nedochází ke změně směru. To znamená, že • = || a ||. Na základě těchto informací přepíšeme rovnici kosinovského zákona:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||opasek(θ)

6. 

   Zjednodušte vzorec. Rozbalte produkty na levé straně rovnice a poté je zjednodušujte, dokud nedosáhnete vzorce, který známe pro výpočet úhlů.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||opasek(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||opasek(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||opasek(θ)
   • • = || a || || b ||opasek(θ)

Tipy

• Pro rychlé rozlišení použijte následující vzorec na libovolný dvojrozměrný vektorový pár: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Pokud pracujete s programy počítačové grafiky, budete pravděpodobně potřebovat znát pouze směr vektorů, nikoli jejich délku. Pro zjednodušení rovnic a urychlení programu postupujte podle následujících kroků:
  • Normalizujte každý vektor, tj. Najděte jednotkový vektor, který má stejný směr jako původní vektor. Chcete-li to provést, rozdělte každou složku vektoru vektorovým modulem.
  • Vypočítejte skalární součin normalizovaných vektorů, nikoli původních vektorů.
  • Protože modul (tj. Délka) normalizovaných vektorů je jednotný, můžeme je vynechat z vzorce. Vaše konečná rovnice pro výpočet úhlů bude oblouk (•).
• Na základě vzorce kosinovského zákona můžeme rychle zjistit, zda je daný úhel ostrý nebo tupý. Začít s cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Levá a pravá strana rovnice musí mít stejné znaménko (kladné nebo záporné).
  • Protože délky jsou vždy kladné, cosθ bude mít vždy stejné znaménko jako skalární produkt.
  • Pokud je skalární produkt pozitivní, bude cosθ pozitivní. To znamená, že úhel je v prvním kvadrantu kruhové jednotky, tj. 9 <π / 2 nebo 90 °. Proto je úhel ostrý.
  • Pokud je skalární produkt negativní, cosθ je negativní. To znamená, že úhel je ve druhém kvadrantu kruhové jednotky, tj. Π / 2 <θ ≤ π nebo 90 ° <θ ≤ 180 °. Proto je úhel tupý.